Габариты равон р4: Технические характеристики авто Ravon R4

Габариты равон р4: Технические характеристики авто Ravon R4

Технические характеристики Ravon R4 | официальный дилер Равон в Екатеринбурге.

Технические характеристики Равон Р4. Узнайте габариты, расход топлива Ravon R4 / Равон Р4, особенности двигателей, подвесок, кузовов и прочих технических характеристик автомобилей Ravon R4.

  • png»/>

Успей до 6 Ноября

638 250 ₽

851 000 ₽

Специальные условия на покупку Ravon R4

Это обязательное поле

Наличие паспорта РФ

Нажимая на кнопку выше вы даете согласие на обработку персональных данных

Технические характеристики

Модификации 1.5 MT (106 л.с.) 1.5 AT (106 л.с.)
Двигатель
Количество передач 5 6
Марка топлива АИ-92 АИ-92
Мощность двигателя (л. с.) 106 106
Объем двигателя 1.5 1.5
Привод Передний Передний
Тип двигателя АИ-92 АИ-92
Топливный бак (л) 47 47
Трансмиссия MT AT
Габаритные размеры
Высота (мм) 1514 1514
Длина (мм) 4479 4479
Колесная база (мм) 2620 2620
Количество дверей 4 4
Количество мест 5 5
Снаряженная масса 1172 1243
Ширина (мм) 1735 1735
Динамические характеристики
Время разгона (0-100 км/ч, с) 11. 7 12.6
Максимальная скорость (км/ч) 169 170
Подвеска
Задняя подвеска полунезависимая, пружинная полунезависимая, пружинная
Передняя подвеска независимая, пружинная независимая, пружинная
Расход топлива
Городской (л/100 км) 8. 4 10.4
Загородный (л/100 км)
Километров на баке 758 701
Смешанный (л/100 км) 6. 2 6.7

Основные характеристики

Длина кузова автомобиля достигает 4479 мм, ширина – 1735 мм, высота – 1514 мм. При этом колесная база составляет 2620 мм, клиренс – мм.

Он может оснащаться двигателем объемом 1,4; 1,6 л. Мощность силового агрегата достигает 100 л.с.; 123 л.с.

Машина может иметь механическую — МТ или автоматическую — АТ коробку переключения передач. МКПП понравится водителям, которые хотят полностью контролировать процесс езды. АКПП максимально удобна автолюбителям, которые не имеют большого стажа вождения.

До скорости 100 км/ч авто разгоняется за 11.7 с. Чтобы преодолеть расстояние 100 км при езде в смешанном режиме, понадобится от 6.2 л горючего.

Полные технические характеристики Равон Р4 2022 года выпуска Вы найдете на нашем сайте. Чтобы получить ответы на интересующие Вас вопросы, свяжитесь с менеджерами автосалона Селект Авто.

Экспресс заявка на кредит

Оставьте ваш номер и получите скидку, специальное предложение и подарок!

Это обязательное поле

Наличие паспорта РФ

Наличие паспорта РФ обязательно

Нажимая на кнопку выше вы даете согласие на обработку персональных данных

Заказать звонок

Мы перезвоним
через 30 секунд

Ravon R4 — обзор, цены, видео, технические характеристики Равон Р4

На московском международном автомобильном салоне 2016 года, узбекский производитель представил свою новинку-Ravon R4. По факту, модель является слегка измененной версией хорошо известного Chevrolet Cobalt. У него довольно простая техническая начинка, простенький салон и слегка измененная внешность. В глаза бросаются заходящие на крылья, огромные фары головного освещения с круглыми отражателями и небольшими указателями поворота. Решетка радиатора обладает пятиугольной формой и выполнена на довольно простой манер. Она забрана черными горизонтально ориентированными ребрами и обрамлена толстой хромированной накладкой. Под ней можно увидеть небольшой трапецеидальный воздухозаборник, также прикрытый пластиковой решеткой и парочку круглых противотуманных фар. Что касается кормы, то она также выполнена в довольно строгом и минималистичном стиле. Глаз цепляется только за парочку небольших стоп-сигналов, слегка заходящих на крылья. В общем и целом, модель получила простой и ненавязчивый дизайн, отлично гармонирующий с ее сегментом и технической начинкой.

Размеры

Равон Эр 4- это четырехдверный субкомпактный седан. Его габаритные размеры скорее тянут на B+ класс по европейской классификации: длина 4479 мм, ширина 1735 мм, высота 1514 мм, а колесная база- 2620 мм. Что касается клиренса, то он типичен для подобных моделей и насчитывает 160 миллиметров. Благодаря такой посадке, они обладают неплохой маневренностью, могут заехать на бордюр средних размеров и не теряют устойчивость, даже на относительно высоких скоростях. Сама подвеска выполнена в довольно распространенном, для этого сегмента, стиле. Спереди находятся независимые стойки McPherson со стабилизатором поперечной устойчивости, а сзади простая и надежная полузависимая торсионная балка. С тормозами ситуация такая же- дисковые вентилируемые на передней и барабанные на задней оси.

Очевидным козырем кобальта является его огромный багажник. При поднятых спинках второго ряда сидений, сзади остается около 545 литров свободного пространства. Благодаря такому объему, модель отлично покажет себя как в повседневной жизни, так и в дальних поездках с семьей и обилием багажа.

Технические характеристики

Под капотом Ravon R4 находится один безальтернативный силовой агрегат. Это рядная атмосферная бензиновая четверка на 1485 кубических сантиметров. Благодаря многоточёчному впрыску топлива и двум распределительным валам, инженерам удалось выжать 106 лошадиных сил при 5800 об/мин и 134 Нм крутящего момента при 4000 оборотах коленчатого вала в минуту. Двигатель стыкуется как с пятиступенчатой механикой, так и с шестиступенчатым автоматом. Привод исключительно передний. В зависимости от типа трансмиссии, седан набирает первую сотню за 11,7-12,6 секунды и максимально разгоняется до 169-170 километров в час. Что касается расхода, то он типичен, для подобного класса- 8,4-10,4 литра бензина на сто километров пути по городу и 6,2-6,7 литров в смешанном цикле.

Итог

R4- хорошо знакомая модель в новом исполнении. У него простой и ненавязчивый дизайн, отлично гармонирующий с предназначением модели. Она будет хорошо смотреться как в оживленном городском потоке, так и на скоростных магистралях. Салон- это царство добротной сборки, выверенной эргономики, практичности и комфорта. Даже длительная поездка или километровый затор не должны доставить водителю лишних неудобств. Производитель прекрасно понимает, что современный автомобиль должен дарить удовольствие от управления. Именно поэтому, под капотом седана находится простой и недорогой агрегат, являющийся сплавом проверенных технологий и многолетнего опыта инженеров. Ravon R4- бюджетный и вместительный седан на каждый день.

Видео

3.2 Основания и размеры | MATH0007: Алгебра для совместных студентов с отличием 2021

3.2.1 Линейные комбинации

Если \(\mathbf{v}_1,\ldots \mathbf{v}_n\) являются элементами \(\FF\)-вектора
пробел V затем линейная комбинация из
\(\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\) является элементом V вида

\[l_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + l_n \mathbf{v }_n \]

для некоторых \(l_1,\ldots,l_n \in \FF\). \(l_i\) являются
называются коэффициентами этой линейной комбинации. А
нетривиальная линейная комбинация – это комбинация, в которой не все
коэффициенты нулевые.

Это позволяет нам перефразировать наше определение подпространства: непустое
подмножество U из V является подпространством тогда и только тогда, когда каждая линейная комбинация
элементов U снова в U .

3.2.2 Линейная независимость

Последовательность векторов представляет собой упорядоченный список, записанный \((\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w},\ldots)\) или просто
\(\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w},\ldots\). Упорядоченный означает, что, например,
\((\mathbf{u},\mathbf{v}) \neq (\mathbf{v},\mathbf{u})\). Последовательности
отличается от наборов по двум причинам: во-первых
\(\{\mathbf{v},\mathbf{u}\}\) — это то же множество, что и \(\{ \mathbf{u},\mathbf{v}\}\) — порядок не имеет значения для наборы —
и, во-вторых, \(\{\mathbf{u},\mathbf{u}\} = \{\mathbf{u}\}\), тогда как
\((\mathbf{u},\mathbf{u}) \neq (\mathbf{u} )\).

Определение 3.3 Последовательность \(\mathbf{v}_1,\ldots ,\mathbf{v}_n\) элементов \(\FF\)-векторного пространства V называется линейно независимым если единственная линейная комбинация
\[\начало{уравнение}
\тег{3.1}
a_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + a_n \mathbf{v}_n
\конец{уравнение}\]
равным нулевому вектору является тот, где
\(a_1 = \cdots = a_n = 0\).

Последовательность, которая не является линейно независимой, называется
линейно зависимы , а уравнение (3.1) в котором не все
\(a_i=0\) называется отношение линейной зависимости для
\(\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n\).


Чтобы проверить, является ли последовательность \(\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\) из
элементы V линейно независимы, надо посмотреть, есть ли
любые ненулевые решения уравнения
\[
l_1\mathbf{v}_1+ \cdots + l_n \mathbf{v}_n = \mathbf{0}_V.
\]

Обратите внимание, что если последовательность
\(\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\) дважды содержит один и тот же элемент,
является линейно зависимым: если \(\mathbf{v}_i = \mathbf{v}_j\) для \(i \neq j\), то \(\mathbf{v}_i-\mathbf{v}_j=\ mathbf{0}_V\) — нетривиальная линейная
отношение зависимости. 92}\). Тогда мы имеем \[\begin{equation*} \begin{pmatrix} \lambda \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \mu \\ \mu \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{equation*}\], что эквивалентно утверждению, что \(\lambda + \mu = 0\) и \(\mu=0\). Отсюда следует, что \(\lambda=\mu=0\), что означает, что эти два вектора были линейно независимыми.

  • Одноэлементная последовательность \(\mathbf{0}_V\) не является линейно независимой:
    \(1 \mathbf{0}_V = \mathbf{0}_V\), поэтому существует нетривиальное отношение линейной зависимости от \(\{\mathbf{0}_V\}\). 9n \lambda_i \mathbf{e_i} = \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n \end{pmatrix} \end{equation*}\] и единственный способ получить нулевой вектор, если все коэффициенты \(\lambda_i\) равны нулю.
  • 3.2.3 Остовные последовательности

    Определение 3.4 Пусть V — \(\FF\)-векторное пространство и \(\mathbf{s}_1,\ldots \mathbf{s}_n \in V\ ). Диапазон из \(\mathbf{s}_1,\ldots, \mathbf{s}_n\), записанный \(\spa (\mathbf{s} _1,\ldots, \mathbf{s} _n)\ ), представляет собой набор всех линейных комбинаций \(\mathbf{s}_1,\ldots, \mathbf{s}_n\).


    Итак
    \[\spa ( \mathbf{s} _1,\ldots, \mathbf{s} _n) = \{ l_1 \mathbf{s}_1 + \cdots + l_n \mathbf{s}_n: l_1, \ldots, l_n \in \ff \}\]
    Диапазон пустого набора векторов определяется как \(\{ \mathbf{0}_V\}\).

    . Пример 3.4. l \in \FF\}\), так как любая линейная комбинация \(\mathbf{s}\) просто кратна \(\mathbf{s}\). 93\). Тогда \(\spa ( \mathbf{u}, \mathbf{v} )\) это множество \[\begin{equation*} \left\{ \begin{pmatrix} \lambda \\ \mu \\ 0 \ end{pmatrix} : \lambda,\mu \in \rr \right\} \end{equation*}\]

  • Диапазон \(\mathbf{u} , \mathbf{v}\) и \(\mathbf{w} = \begin{pmatrix} 1\\2\\0 \end{pmatrix}\) равен в \(\spa (\mathbf{u}, \mathbf{v})\).

  • Лемма 3.4 \(\spa ( \mathbf{s} _1,\ldots, \mathbf{s} _n)\) является подпространством V .

    9п (\лямбда \лямбда_i) \mathbf{s}_i\]
    также в S .


    Определение 3.5
    Элементы \(\mathbf{s}_1, \ldots, \mathbf{s}_n\) векторного пространства \(\FF\) V называются остовной последовательностью , если \(\spa( \mathbf {s}_1, \ldots, \mathbf{s}_n) = V\).


    Другими словами, \(\mathbf{s}_1, \ldots, \mathbf{s}_n\) является остовной последовательностью, если каждый элемент V может быть записан как линейная комбинация элементов \(\ mathbf{s}_1, \ldots, \mathbf{s}_n\).

    Лемма 3.5 Если \(U \leq V\) и U содержит остовную последовательность \(\mathcal{S}\) для V , то \(U=V\).

    Доказательство. U замыкается при взятии линейных комбинаций элементов
    U , поэтому он содержит все линейные комбинации
    элементов \(\mathcal{S}\), но каждый элемент V является линейным
    комбинация \(\mathcal{S}\), поэтому U содержит все элементы
    В .

    3.2.4 Конечномерные векторные пространства

    Определение 3.6 \(\FF\)-векторное пространство называется конечномерным , если оно имеет остовную последовательность.

    (Обратите внимание, что наши «остовные последовательности» всегда являются конечными последовательностями — отсюда и название «конечномерные»).

    Итак, V конечно
    размерный, если существует конечная последовательность
    \(\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\) элементов V
    такой, что любой элемент 9п\) конечномерна.

    Пример 3.6 Векторы
    \[\begin{уравнение*}
    \begin{pmatrix}
    1\0\0
    \end{pmatrix} \text{ и } \begin{pmatrix}
    0\\2\\2
    \end{pматрица}
    \end{уравнение*}\]
    сформируйте остовную последовательность для векторного пространства в первой части примера 3.2.

    3.2.5 Основания и размеры

    Определение 3.7
    Базис векторного пространства представляет собой линейно независимую последовательность векторов, которая также является связующей последовательностью.

    9н\).

  • Пусть \(M = M_{2\times 2}(\RR)\) будет \(\RR\)-векторным пространством всех
    2✕2 вещественных матрицы, поэтому нулевой вектор \(\mathbf{0}_M\) является нулевой матрицей 2✕2. Пусть \(E_{ij}\) будет матрицей с 1 в позиции i , j и 0 в других местах. Любой элемент М выглядит как
    \(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) для некоторого \(a,b,c,d \in \RR\) и
    \[\begin{уравнение*}
    \begin{pmatrix}
    а&б\в&г
    \end{pmatrix}=a E_{11} + b E_{12} + cE_{21} + dE_{22}.
    \end{уравнение*}\]
    Отсюда следует, что \(E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}\) являются
    последовательность на М . Они также линейно независимы, так как если
    \(\alpha,\beta,\gamma,\delta\) — скаляры, такие что
    \[\begin{уравнение*}
    \alpha E_{11}+\beta E_{12} + \gamma E_{21} + \delta E_{22}
    = \mathbf{0}_M
    \end{уравнение*}\]
    тогда
    \[\begin{уравнение*}
    \begin{pmatrix}
    \альфа и \бета \\ \гамма&\дельта
    \end{pматрица}
    =\begin{pmatrix}
    0&0\\0&0
    \end{pматрица}
    \end{уравнение*}\]
    и так \(\alpha=\beta=\gamma=\delta=0\). Поэтому \(E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}\)
    является основой М .

  • Базис векторного пространства V является, в частности, остовной последовательностью для V , поэтому каждый элемент V может быть записан как линейная комбинация элементов базиса. Следующая лемма показывает, что каждый элемент V может быть записан одним и только одним способами как линейная комбинация элементов определенного базиса.

    Лемма 3.6 Пусть \(\mathcal{B}= \mathbf{b} _1, \ldots, \mathbf{b} _n\) — базис векторного пространства 9m \lambda_i \mathbf{s}_i\) и \(\lambda_j\neq 0\), то
    \[\mathbf{s}_1, \ldots, \mathbf{s}_{j-1}, \mathbf{v}, \mathbf{s}_{j+1},
    \ldots, \mathbf{s}_m\] также является связующей последовательностью для V .

    Доказательство. Пусть \(S=\operatorname{span}(\mathbf{s}_1, \ldots, \mathbf{s}_{j-1}, \mathbf{v}, \mathbf{s}_{j+1 }, \ldots, \mathbf{s}_m)\). Тогда S является подпространством V , и нам нужно показать, что оно равно V .

    Обратите внимание, что S 9{-1} \сумма
    _{i\neq j}\lambda_i\mathbf{s}_i\]

    Поэтому S содержит все \(\mathbf{s}_i\). Поскольку это подпространство, S содержит
    каждая линейная комбинация \(\mathbf{s}_i\), поэтому она содержит V как
    \(\mathbf{s}_1, \ldots, \mathbf{s}_m\) span V .

    Лемма утверждает, что если у вас есть связующая последовательность и вектор \(\mathbf{v}\), то, пока выполняется условие, вы можете поменять местами \(\mathbf{v}\) для одного из элементов связующей последовательности, и она по-прежнему будет связующей последовательностью. Мы используем его для доказательства следующего ключевого результата: 9m \lambda_i \mathbf{s}_i\). Не все
    \(\lambda_i\) может быть нулевым, так как тогда \(\mathbf{l}_1\) будет нулевым вектором, но линейно независимое множество не может содержать
    нулевой вектор. Поэтому без ограничения общности — перенумерацией, если
    необходимо — \(\lambda_1\neq 0\). Итак, \(\mathbf{l}_1, \mathbf{s}_2, \ldots, \mathbf{s}_m\)
    является остовным множеством для V по лемме 3.7.

    Теперь \(\mathbf{l}_2 = \mu_1 \mathbf{l}_1 + \sum_{i\geq 2} \lambda_i \mathbf{s}_i\) для некоторых скаляров
    \(\mu_1, \лямбда_i\). Это не может быть \(\lambda_i=0\) все \(i\), потому что это
    противоречат тому, что \(\mathbf{l}_i\) линейно независимы. Так что снова без потерь
    общности \(\lambda_2\neq 0\) и \(\mathbf{l}_1, \mathbf{l}_2, \mathbf{s}_3, \ldots, \mathbf{s}_m\)
    является связующей последовательностью.

    Если \(m < n\), то после \(m\) шагов этой процедуры мы получим \(\mathbf{l}_1, \ldots, \mathbf{l}_m\), являющийся связующая последовательность, поэтому \(\mathbf{l}_{m+1} \in \operatorname{span}(\mathbf{l}_1,\ldots, \mathbf{l}_m)\).
    Это противоречит тому, что \(\mathbf{l}_1, \ldots, \mathbf{l}_n\) линейно независимы, поэтому мы закончили.

    Следствие 3.1 Любые две базы конечномерного векторного пространства имеют одинаковый размер.

    Доказательство. Пусть \(\mathcal{B} = \mathbf{b}_1, \ldots, \mathbf{b}_m\) и \(\mathcal{C} = \mathbf{c}_1, \ldots, \mathbf{ c}_n\) — основания. Тогда, в частности, \(\mathcal{B}\) является остовной последовательностью, а \(\mathcal{C}\) линейно независима, поэтому \(m \geq n\). Но также \(\mathcal{B}\) линейно независима, а \(\mathcal{C}\) является связующей последовательностью, поэтому \(n \geq m\).

    Наконец, мы можем определить размерность:

    Определение 3.8 Пусть V — конечномерное векторное пространство. Размерность V , записанная \(\dim V\), является размером любого базиса V .

    (Пока не очевидно, что каждое конечномерное векторное пространство должно иметь базис, но мы скоро это докажем). n = n\) и \(\dim M_{2\times 2 }(\RR) = 4\).

  • Вы можете обобщить расчет в примере 3.7, чтобы доказать, что размерность \(\dim M_{n\times m}(\RR)\) и \(M_{n\times m}(\CC)\) равна \ (нм\).
  • Предположим, что V является одномерным \(\mathbb{F}\)-векторным пространством. Он имеет базис \(\mathbf{v}\) размера 1, и каждый элемент V может быть записан как линейная комбинация этого базиса, то есть скаляр, кратный \(\mathbf{v}\ ). Итак, \(V = \{\lambda\mathbf{v} : \lambda\in\mathbb{F}\}\).
  • 93\). Чтобы найти \(\dim V\), нам нужна база V .

    Типичный элемент V выглядит как \(\begin{pmatrix} a \\ b \\ -a-b \end{pmatrix}\), поэтому для начала стоит заметить, что
    \[\начало{уравнение}
    \тег{3.2}
    \begin{pmatrix} a\\b\\-a-b \end{pmatrix}= a \begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0\\1\ \-1 \end{pmatrix}.
    \конец{уравнение}\]
    Можно предположить, что два вектора \(\mathbf{u} = \begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix}\) и \(\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 0 \\1\\-1 \end{pmatrix}\) являются основой. Так как любой элемент V равно \(\begin{pmatrix} a\\b\\-a-b \end{pmatrix}\) для некоторых \(a,b\), уравнение (3.2) показывает, что они
    связующая последовательность. Чтобы проверить их линейную независимость, предположим, что
    \(\lambda \mathbf{u} +\mu \mathbf{v} = \mathbf{0}_V\), так что
    \[\begin{уравнение*}
    \лямбда\begin{pmatrix}
    1\\0\\-1
    \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix}
    0\\1\\-1
    \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
    0\\0\\0
    \end{pmatrix} .
    \end{уравнение*}\]
    Вектор справа имеет элементы \(\lambda, \mu, -\lambda-\mu\), поэтому мы
    есть \(\lambda = \mu=0\). Это показывает, что \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\) линейно независимы, поэтому они являются основой V что поэтому
    имеет размерность 2.

    3.2.6 Продолжение до базиса

    Теперь мы покажем, что любая линейно независимая последовательность в конечномерном векторном пространстве может быть «продолжена до базиса». В доказательстве используется лемма:

    Лемма 3. 8 ( Лемма о расширении ).
    Предположим, что \(\mathbf{l}_1, \ldots, \mathbf{l}_n\) линейно
    независимый. Пусть \(\mathbf{v} \notin \spa ( \mathbf{l} _1, \ldots, \mathbf{l} _n )\).
    Тогда \(\mathbf{l} _1,\ldots, \mathbf{l} _n, \mathbf{v}\) линейно независима. 9{-1}
    \lambda_i)\mathbf{l}_i \in
    \spa ( \mathbf{l} _1,\ldots, \mathbf{l} _n).
    \end{уравнение*}\]


    Предложение 3.1 ( Расширение до базиса ).
    Пусть V конечномерно и \(\mathbf{l}_1,\ldots, \mathbf{l}_n\) линейно независимы. Тогда есть база V , содержащая \(\mathbf{l} _1,\ldots, \mathbf{l} _n\).

    Доказательство. Пусть \(\mathcal{L}=( \mathbf{l} _1,\ldots, \mathbf{l} _n)\).
    С V конечномерна, она имеет конечную остовную последовательность \(\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_m\}\).
    Определим последовательность подмножеств V следующим образом: \(\mathcal{S}_0 = \mathcal{L}\), а для \(i\geq 0\)
    \[\begin{уравнение*}\mathcal{S}_{i+1}=
    \begin{случаи}
    \mathcal{S}_i & \text{if }\mathbf{v}_{i+1} \in
    \spa \mathcal{S}_i \\ \mathcal{S}_i , \mathbf{v}_{i+1} &
    \text{иначе. }\end{cases} \end{equation*}\]
    Обратите внимание, что в любом случае
    \(\mathbf{v}_{i+1} \in \spa \mathcal{S}_{i+1}\), а также что
    \(\mathcal{S}_0 \subseteq \mathcal{S}_1 \subseteq \cdots \subseteq \mathcal{S}_m\).

    Каждое множество \(\mathcal{S}_i\) линейно независимо по лемме 3.8,
    И в
    конкретный \(\mathcal{S}_m\) линейно независим.
    Кроме того, \(\spa \mathcal{S}_m\) содержит связующую последовательность
    \(\{\mathbf{v}_1,\ldots, \mathbf{v}_m\}\), потому что для каждого i мы имеем \(\mathbf{v}_i \in \spa \mathcal{S}_i \subseteq \spa \mathcal{S}_m\), поэтому по лемме
    3.5, \(\spa\mathcal{S}_m = V\). Поэтому \(\mathcal{S}_m\) является базисом, содержащим \(\mathcal{L}\).


    Следствие 3.2 Каждое конечномерное векторное пространство имеет базис.

    Доказательство. Применим предыдущую лемму к линейно независимому множеству \(\emptyset\).


    Следствие 3.3 Если \(\dim V=n\), то любые \(n+1\) элементы V линейно зависимы.

    Доказательство. V имеет основу, следовательно, остовный набор размером n . Поэтому любая линейно независимая последовательность имеет размер не более n по теореме 3.1.

    3.2.7 Измерения подпространств

    Если размерность действительно является хорошей мерой размера векторного пространства,
    тогда, когда U является подпространством V , мы должны иметь \(\dim U \leq \dim V\). Но из определений не следует, что подпространство
    конечномерное векторное пространство даже имеет размерность, поэтому нам нужно
    следующие:

    Лемма 3.9 Если \(U \leq V\) и V конечномерно, то U конечномерно.

    Доказательство. Предположим противное, что U не является конечномерным, поэтому оно не порождено каким-либо конечным набором элементов U .

    Мы утверждаем, что для любого \(n\geq 0\) существует линейно независимое подмножество
    U размера n . Доказательство проводится по индукции, и для \(n=0\) работает пустое множество.
    Для индуктивного шага предположим, что \(\mathcal{L}\) является линейно независимым
    подмножество U размера n . С U не покрывается никаким конечным множеством
    его элементов существует \(\mathbf{u}\in U \setminus \spa \mathcal{L}\). Тогда \(\mathcal{L}\cup \{\mathbf{u}\}\) линейно
    независима по лемме 3.8 и имеет размер \(n+1\), завершая
    индуктивный шаг.

    В частности, существует линейно независимое подмножество V размера
    \(\dim V+1\), что противоречит следствию 3.3.


    Предложение 3.2 Пусть U — подпространство конечномерного векторного пространства В . Затем

    • \(\dim U \leq \dim V\) и
    • , если \(\dim U=\dim V\), то \(U=V\).

    Доказательство.

    • U конечномерна по лемме 3.9, поэтому имеет конечный базис \(\mathcal{B}\). По следствию 3.3, \(\mathcal{B}\), будучи линейно независимым подмножеством V , имеет размер не более \(\dim V\). Поэтому \(\dim U = | \mathcal{B} | \leq \dim V\).
    • Если \(\dim U = \dim V\) и \(\mathbf{v} \in V \setminus U\), то \(\mathcal{B} , \mathbf{v}\) линейно независима по лемме 3.8. Но его размер больше, чем \(\dim V\), что противоречит следствию 3.3. Итак, \(V\setminus U=\emptyset\) и \(U=V\).

    Пространство строки и пространство столбца матрицы

    Пусть A будет матрицей м на n . Пространство, заполненное строками A , называется пространством строк of A и обозначается RS(A) ; это подпространство R n . Пространство, занимаемое столбцами A , называется пространством столбцов of A и обозначается CS(A) ; это подпространство Р м .

    Коллекция { R 1 , R 2 ,…, R M }, состоящий из рядов A , не сформируйте базис RS (A) , , A . потому что набор не может быть линейно независимым. Однако максимальное линейно независимое подмножество { r 1 , r 2 , …, r m } дает основу для пространства строки. Так как максимальное количество линейно независимых строк A равно рангу A ,

     

    Аналогично, если C 1 , C 2 ,…, C N Обозначите колонны A , затем максимальный линейный независимый подраздел { C 6666661 661, затем максимальный линейно независимый подраздел { C 6666661 61 661, затем максимальный линейно независимый подраздел { C 966666666661 661 6661. , в 2 , …, в n } дает основу для пространства столбца A . Но максимальное количество линейно независимых столбцов также равно рангу матрицы, поэтому

     

    Следовательно, хотя RS(A) является подпространством R n и CS(A) является подпространством R m

    6 90, (**) и (**) ) подразумевают, что

       

    , даже если м ≠ n .

    Пример 1 : Определить размерность и основу для пространства строки матрицы

     

    Последовательность элементарных операций над строками сводит эту матрицу к ступенчатой ​​матрице

     

    Ранг B равен 3, поэтому dim RS(B) = 3. Базис для RS(B) состоит из ненулевых строк в сокращенной матрице:

    Другая основа для RS(B) , состоящая из некоторых исходных рядов из Б , это

     

    Обратите внимание, что поскольку пространство строк является трехмерным подпространством R 3 , оно должно состоять из R 3 .

    Критерии принадлежности к пространству столбцов . Если A является матрицей m x n , а x является вектором n , записанным в виде матрицы-столбца, то произведение A x равно линейной комбинации столбцов А

    По определению, вектор b в R m находится в пространстве столбцов A , если он может быть записан как линейная комбинация столбцов A . То есть, B CS (A) Точно, когда существуют скаляры x 1 , x 2 ,…, x N Такое, что

    .

     

    Объединение (*) и (**) приводит к следующему выводу:

     

    Пример 2 : Для какого значения b вектор b = (1, 2, 3, b ) T находится в пространстве столбцов следующей матрицы?

     

    Сформируйте расширенную матрицу [ A / b ] и уменьшите:

     

    Из-за того, что нижний ряд нулей в A ′ (сокращенная форма A ), нижняя запись в последнем столбце также должна быть 0, что дает полный ряд нулей внизу [ A ′/ b ′] – для того, чтобы система A x = b имела решение. Установка (6 — 8 b ) — (17/27)(6 — 12 b ) равным 0 и решение для b дает

     

    Следовательно, b = (1, 2, 3, b ) T входит в CS(A) тогда и только тогда, когда b = 5.

    Поскольку элементарные операции со строками не изменяют ранг матрицы, ясно, что в приведенном выше вычислении ранг A = ранг A ′ и ранг [ A / b ] = ранг [ A ′/ b ′]. (Поскольку нижняя строка A ′ полностью состоит из нулей, ранг A ′ = 3, что означает также ранг A = 3.) При b = 5 нижний ряд [ A ′/ b ′] также полностью состоит из нулей, что дает ранг [ A ′/ b ′] = 3. Однако если бы b не были равны 5, то нижняя строка [ A ′/ b ′] не состояло бы полностью из нулей, и ранг [ A ′/ b ′] был бы равен 4, а не 3. Этот пример иллюстрирует следующий общий факт: когда b находится в CS(A) , ранг [ A / b ] совпадает с рангом A ; и, наоборот, когда b не находится в CS(A) , ранг [ A / b ] не совпадает (строго больше) с рангом А . Следовательно, эквивалентный критерий принадлежности к пространству столбцов матрицы выглядит следующим образом:

     

    Пример 3 : Определить размерность и основу пространства столбца матрицы

       

    из примера 1 выше.

    Поскольку размерность пространства столбца матрицы всегда равна размерности ее пространства строки, CS(B) также должен иметь размерность 3: CS(B) является трехмерным подпространством Р 4 . Поскольку B содержит только 3 столбца, эти столбцы должны быть линейно независимыми и, следовательно, формировать основу:

     

    Пример 4 : Найдите основу для пространства столбца матрицы

     

    Поскольку пространство столбцов A состоит именно из таких векторов b , что A x = b является разрешимой системой, один из способов определить основу для CS(A) будет сначала найти пространство всех векторов b такое, что A x = b будет согласовано, а затем построить основу для этого пространства.